Przykładowe zadanie

Wykaż, że jeśli a+b=1, to
a²+b² ≥ 1/2
a³+b³ ≥ 1/4

1 Stosujemy wzór skróconego mnożenia dla wyrażenia a+b=1
   (a+b)²=1
   a²+2ab+b²=1
   a²+b²=1-2ab
Zauważmy, że 2ab=2a(1-a)=-2a(a-1)=-2a²+2a i największa wartość tego wyrażenia wynosi -(2²-4*(-2)*0)/(4*(-2))=-4/-8=1/2 wobec tego 2ab≥1/2, czyli
   a²+b²≥1-1/2=1/2

2 Stosujemy wzór skróconego mnożenia dla wyrażenia a+b=1
   (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³=a³+b³+3ab(a+b)
   a³+b³+3ab(a+b)=1
   a³+b³+3ab=1
                                  Korzystając z 2ab≥1/2 mamy 2ab≥1/2 |:2
                                                                                   ab≥1/4 |*3
                                                                                  3ab≥3/4, czyli
   a³+b³=1-3ab≥1-3/4=1/4

Wzory skróconego mnożenia

Wzory skróconego mnożenia pozwalają na szybsze i dokładniejsze liczenie czy upraszczanie wyrażeń.

Podstawowe z nich to
(a+b)² = a²+2ab+b²
(a-b)² = a^2-2ab+b²
a²-b² = (a-b)(a+b)
(a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³
(a-b)³ = a³-3a²b+3ab²-b³
a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²)
a³-b³ = (a-b)(a²+ab+b²)

Wartość bezwzględna

Wartość bezwzględną definiujemy następująco



wobec tego wartość bezwzględna nigdy nie jest ujemna
Interpretacją wartości bezwzględnej jest odległość od punktu na osi liczbowej

Pole pod funkcją kwadratową

Funkcja kwadratowa, jak wiemy, ma wzór y=ax²+bx+c

Pole figury ograniczonej parabolą od x1 do x2 (x1<x2) wynosi P=a*x₂³/3+b*x₂²/2+cx₂ - a*x₁³/3+b*x₁²/2+cx<sub>1

Oczywiście wartość ta może wyjść ujemna, jednak niczym nie należy się martwić, bwiem ujemna wartość informuje nas, że to pole znajduje się pod osią OX, dlatego bardzo ważne jest, żeby pola liczyć osobno ze względu na położenie względem osi OX</sub>

Rozwiązania równań liniowych

Równanie y=ax+b możemy rozwiązać następująco

   y=ax+b |-b
   y-b=ax |/a
   x=(y-b)/a

W praktyce jednak y zawsze jest równe zeru, więc rozwiązaniem równanie liniowego jest x= - b/a

Własność ta pozwala nam błyskawicznie określić miejsca przecięcia prostej z osiami 

Średnie

W tym poście omówię cztery rodzaje średnich

Średnia arytmetyczna

Wzór x_n=(a₁+a₂+⋯+a_n-1+a_n)/n

Średnia geometryczna

Wzór g_n=ⁿ√(a₁*a₂*...*a_n-1*a_n)

Średnia harmoniczna

Wzór h_n=n/[(1/a₁)+(1/a₂)+...+(1/a_n-1)+(1/a_n)]

Średnia kwadratowa

Wzór k_n=√(a₁²+a₂²+...+a_n-1²+a_n²)/n

Istnieje zależność k_n≥x_n≥g_n≥h_n

Cechy podzielności liczb

Cechy podzielności liczb przydają się wtedy, gdy chcemy szybko sprawdzić, czy dana liczba jest podzielna przez jakąś liczbę, np. przy skracaniu ułamków

Liczba jest podzielna przez 2, gdy cyfrą jedności jest {0,2,4,6,8}
Liczba jest podzielna przez 3, gdy suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 3
Liczba jest podzielna przez 4, gdy liczba, którą są ostatnie dwie cyfry tej liczby, jest podzielna przez 4
Liczba jest podzielna przez 5, gdy ostatnią cyfrą jest {0,5}
Liczba jest podzielna przez 9, gdy suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 9

To są oczywiście podstawowe cechy podzielności. Poniżej przedstawię jeszcze dwie cechy podzielności dość problematycznych liczb

Liczba jest podzielna przez 7, gdy liczbę zapiszemy 10a+b i a-2b będzie podzielne przez 7
Liczba jest podzielna przez 13, gdy liczbę zapiszemi 10a+b i a+4b będzie podzielne przez 13

Wielomiany

Wielomianem nazywamy każdą funkcję postaci f(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+a_n-2x^n-2+...+a₂x²+a₁x+a₀, gdzie liczby a_n, a_n-1, ..., a₀ są liczbami stałymi

Wielomian jest stopnia n, gzie n jest najwyższą potęgą, która stoi przy dowolnie wybranym x

Twierdzenie Bézouta

Wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x−a)wtedy i tylko wtedy, gdy liczba a jest pierwiastkiem tego wielomianu.


np. x²+3x+2 dzieli sie przez (x+2), gdyż jednym z pierwiastków tego wielomianu jest liczba (-2)

Wielomiany uważa się za równe wtedy, gdy współczynniki stojące przy x w tej samej potędze są  sobie równe.

Funkcja logarytmiczna

Funkcja logarytmiczna ma postać f(x)=log_ax , przy czym a>0,a≠1 i b>0

Kształt funkcji jest uzależniony od liczby a.
Jeśli 0<a<1 to funkcja jest malejąca

a jeśli a>1 to funkcja jest rosnąca

Własności:

Funkcja logarytmiczna jest różnowartościowa
Każdy wykres przechodzi przez punkt (0,1)
Asymptotą tej funkcji jest prosta o równaniu x=0

Funkcja potęgowa

Funkcja potęgowa ma postać  f(x)=x^a ,gdzie a jest określoną stałą.
Dziedzina tej funkcji zależy od liczby a (jest to tak na prawdę funkcja do której m.in. należą funkcja kwadratowa a=2, pierwiastkowa a=1/2)

Dla nieparzystego a funkcja jest nieparzysta, a dla parzystego n funkcja jest parzysta.

Liczba, która jest argumentem funkcji jest podstawa potęgi (Często się myli!)

Funkcja wykładnicza

W tym poście zajmiemy się funkcją wykładniczą, która jest postaci f(x)=a^x , gdzie a>0
Wykres może przyjmować różne kształty w zależności od a. Jeśli a>1, to funkcja jest rosnąca, a jeśli a<1, to funkcja jest malejąca.
Cechą charakterystyczną dla tej funkcji jest to, że punkt (0,1) należy do wykresu każdej funkcji wykładniczej.
Funkcja wykładnicza jest funkcją różnowartościową, tzn, f(x₁)=f(x₂) tylko dla x₁=x₂.

Asymptota

Funkcja wykładnicza jest przykładem funkcji, która posiada asymptotę. Asymptota jest to prosta o takim równaniu, do którego dąży wykres f(x), ale nigdy go nie osiągnie (osiągnie w nieskończoności). Zauważmy, że funkcja wykładnicza nigdy nie osiągnie wartości 0, lecz dąży do niego. Jeśli a>1, to dla ujemnych argumentów (i coraz mniejszych i mniejszych) wartość jest bliska zeru, a gdy a<1, to dla dodatnich argumentów (i coraz większych i większych) wartość jest także bliska zeru, więc funkcja wykładnicza ma asymptotę o równaniu y=0.

Funkcja kwadratowa

W tym poście przedstawię pokrótce funkcję kwadratową(inaczej trójmian kwadratowy).

Najważniejsza postać funkcji kwadratowej to postać ogólna ax²+bx+c, przy czym a jest różne od 0, bo wtedy otrzymujemy wzór funkcji liniowej

Drugą postacią trójmianu kwadratowego jest postać iloczynowa a(x-x₁)(x-x₂) , gdzie x₁ i x₂ są rozwiązaniami funkcji kwadratowej.


Trzecią postacią trójmianu kwadratowego jest postać kanoniczna, która jest oparta na współrzędnych wierzchołka. Współrzędna x-owa(p) wierzchołka to -b/2a, a y-owa(q) to
-(b²-4ac)/4a  delta=(b²-4ac)
Tak więc postać kanoniczna funkcji kwadratowej to nic innego niż przesunięty wykres ax² o wektor [p,q], a więc postać ta wygląda tak a(x-p)²+q

Własności

Funkcja kwadratowa ma kształt paraboli, dlatego zawsze ma nieskończony zbiór wartości
Jest symetryczna względem prostej x o równaniu x=p
Ma dwa pierwiastki rzeczywiste, gdy wyróżnik jest dodatni, jeden, jeśli delta=0 i 0 rzeczywistych( dwa zespolone), gdy delta<0
Ma ramiona skierowane do góry, gdy a>0, a gdy a<0 to do dołu

Wzory Viète'a

Dla równania kwadratowego, które posiada pierwiastki x₁ i x₂ (działają również dla pierwiastków zespolonych):
         * x₁+x₂= -b/a 
         * x₁*x₂= c/a

Początek

Witam,
na tym blogu będę umieszczał zagadnienia związane z matematyką w miarę krótki i zwięzły sposób.
Możecie zadawać pytania odnośnie rzeczy, które was interesują, bądź z którymi macie problem.