Przykładowe zadanie

Wykaż, że jeśli a+b=1, to
a²+b² ≥ 1/2
a³+b³ ≥ 1/4

1 Stosujemy wzór skróconego mnożenia dla wyrażenia a+b=1
   (a+b)²=1
   a²+2ab+b²=1
   a²+b²=1-2ab
Zauważmy, że 2ab=2a(1-a)=-2a(a-1)=-2a²+2a i największa wartość tego wyrażenia wynosi -(2²-4*(-2)*0)/(4*(-2))=-4/-8=1/2 wobec tego 2ab≥1/2, czyli
   a²+b²≥1-1/2=1/2

2 Stosujemy wzór skróconego mnożenia dla wyrażenia a+b=1
   (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³=a³+b³+3ab(a+b)
   a³+b³+3ab(a+b)=1
   a³+b³+3ab=1
                                  Korzystając z 2ab≥1/2 mamy 2ab≥1/2 |:2
                                                                                   ab≥1/4 |*3
                                                                                  3ab≥3/4, czyli
   a³+b³=1-3ab≥1-3/4=1/4