Funkcja potęgowa

Funkcja potęgowa ma postać  f(x)=x^a ,gdzie a jest określoną stałą.
Dziedzina tej funkcji zależy od liczby a (jest to tak na prawdę funkcja do której m.in. należą funkcja kwadratowa a=2, pierwiastkowa a=1/2)

Dla nieparzystego a funkcja jest nieparzysta, a dla parzystego n funkcja jest parzysta.

Liczba, która jest argumentem funkcji jest podstawa potęgi (Często się myli!)

Funkcja wykładnicza

W tym poście zajmiemy się funkcją wykładniczą, która jest postaci f(x)=a^x , gdzie a>0
Wykres może przyjmować różne kształty w zależności od a. Jeśli a>1, to funkcja jest rosnąca, a jeśli a<1, to funkcja jest malejąca.
Cechą charakterystyczną dla tej funkcji jest to, że punkt (0,1) należy do wykresu każdej funkcji wykładniczej.
Funkcja wykładnicza jest funkcją różnowartościową, tzn, f(x₁)=f(x₂) tylko dla x₁=x₂.

Asymptota

Funkcja wykładnicza jest przykładem funkcji, która posiada asymptotę. Asymptota jest to prosta o takim równaniu, do którego dąży wykres f(x), ale nigdy go nie osiągnie (osiągnie w nieskończoności). Zauważmy, że funkcja wykładnicza nigdy nie osiągnie wartości 0, lecz dąży do niego. Jeśli a>1, to dla ujemnych argumentów (i coraz mniejszych i mniejszych) wartość jest bliska zeru, a gdy a<1, to dla dodatnich argumentów (i coraz większych i większych) wartość jest także bliska zeru, więc funkcja wykładnicza ma asymptotę o równaniu y=0.

Funkcja kwadratowa

W tym poście przedstawię pokrótce funkcję kwadratową(inaczej trójmian kwadratowy).

Najważniejsza postać funkcji kwadratowej to postać ogólna ax²+bx+c, przy czym a jest różne od 0, bo wtedy otrzymujemy wzór funkcji liniowej

Drugą postacią trójmianu kwadratowego jest postać iloczynowa a(x-x₁)(x-x₂) , gdzie x₁ i x₂ są rozwiązaniami funkcji kwadratowej.


Trzecią postacią trójmianu kwadratowego jest postać kanoniczna, która jest oparta na współrzędnych wierzchołka. Współrzędna x-owa(p) wierzchołka to -b/2a, a y-owa(q) to
-(b²-4ac)/4a  delta=(b²-4ac)
Tak więc postać kanoniczna funkcji kwadratowej to nic innego niż przesunięty wykres ax² o wektor [p,q], a więc postać ta wygląda tak a(x-p)²+q

Własności

Funkcja kwadratowa ma kształt paraboli, dlatego zawsze ma nieskończony zbiór wartości
Jest symetryczna względem prostej x o równaniu x=p
Ma dwa pierwiastki rzeczywiste, gdy wyróżnik jest dodatni, jeden, jeśli delta=0 i 0 rzeczywistych( dwa zespolone), gdy delta<0
Ma ramiona skierowane do góry, gdy a>0, a gdy a<0 to do dołu

Wzory Viète'a

Dla równania kwadratowego, które posiada pierwiastki x₁ i x₂ (działają również dla pierwiastków zespolonych):
         * x₁+x₂= -b/a 
         * x₁*x₂= c/a

Początek

Witam,
na tym blogu będę umieszczał zagadnienia związane z matematyką w miarę krótki i zwięzły sposób.
Możecie zadawać pytania odnośnie rzeczy, które was interesują, bądź z którymi macie problem.